RESPA法
目次
概要
RESPAとはReversible System Propagator Algorithmの略であり、Tuckerman et al. (1992) によって提案された。RESPAは時間発展演算子を利用した方法であり、時間反転対象性を持つ、様々な運動方程式に対して適用しやすいなどの利点がある。多時間刻みの方法に対しても適用が可能である。
Trotter公式による時間発展演算子の分解
古典粒子系のハミルトニアン
は以下のように表される。
(1)
ここで
は粒子
の位置、は粒子
の運動量、
は粒子
の質量。
は粒子全体の運動エネルギー、
は粒子全体のポテンシャルエネルギーを示す。
リューヴィユ演算子
は
(2)
またこれは正準交換関係から以下のようにも書ける。
(3)
物理量
の時間変化は全微分の関係から、リューヴィユ演算子を用いて以下のように表される。
(4)
これを形式的に解くと、時刻
における物理量は
(5)
ここで
は時間発展演算子となっている。時間発展演算子をG とおく
(6)
座標と運動量の時間変化は
(7)
(8)
RESPA法ではTrotter公式によって時間発展演算子を分解し、積分アルゴリズムを組み立てる。Trotter公式は、交換不可能な演算子
、
に関して以下のように表される。
(9)
(10)
RESPAでは時間発展演算子は以下のような形式に分解される。
ここで
はランダウの記号と呼ばれるもので、誤差の程度を示す。
積分アルゴリズムを導く際に以下の公式が使われる。これらの関係はテーラー展開の公式などから得られる。
(11)
(12)
(13)
Nose-Hoover法への適用
RESPA法をNose-Hoover法に適用する方法を示す。まず運動方程式は以下のように書かれる。
(14)
(15)
(16)
(17)
ここで
と
はNose-Hoover法で新たに導入された拡張系の変数である。
は正の実数定数である。
、
、
それぞれの次元は無次元、[kg･m2･s-1]、[kg･m2]である。
時間発展演算子を分解する方法は色々あるが、一例として以下のように表される。
(18)
これを用いた場合の計算手順は以下のようになる。
初期条件として時刻
での粒子の位置と運動量、力が計算されているとする。
- 新しい座標での力を計算する。
- 1から8を繰り返す。
参考にしたもの
-
Tuckerman, M., Berne, B. J. (1992): Reversible Multiple Time Scale Molecular Dynamics, the Journal of Chemical Physics, Vol. 97, Issue 3, pp. 1990-2001.
- http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=JCPSA6000097000003001990000001&idtype=cvips&gifs=yes http://cacs.usc.edu/education/cs653/Tuckerman-RESPA-JCP92.pdf
-
MPDyn/Algorithm/Numerical integration of equations of motion (reversible RESPA)
- http://staff.aist.go.jp/w.shinoda/MPDyn/theory.html